Objectifs
- Connaitre la définition d’une force conservative.
- Connaitre et savoir utiliser l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur.
Points clés
- L’énergie potentielle de pesanteur est notéeEpp et s’exprime par Epp=m×g×z.
- Une force est conservative lorsque le travail d’une force entre deux points donnés est indépendant du chemin suivi.
- La variation d’énergie potentielle associée au poids
, entre deux pointsA etB, estégale à l’opposé du travail de ce poids sur le système:
.
Pour bien comprendre
- Force
- Travail d’une force
- Énergie
1.Le travail d'une force conservative
a.Mises en situation
Déplacement rectiligne d’un système
Un système de massem évolue dans le champ de pesanteur. Lesystème est déplacé d’un pointA à un pointB, d’altitudes respectiveszA etzB.
Dans un premier temps, ledéplacement entre les deux points est rectiligne.
Schéma de la situation
On applique alors la formule du travail pour estimer le travail du poids:
.
Explication
Le travail du poidss’exprime par
.
Dans le triangle rectangleAHB, avec AH=zA−zB.
Ainsi, AB×cos(α)=AH=zA−zB.
On a donc.
Déplacement non rectiligne d’un système
On considère maintenant que le déplacement n’est plus rectiligne mais segmenté en deux parties entre les points de départA et d’arrivéeC.
Schéma de la situation
Dans la configuration décrite par le schéma ci-dessus, latrajectoire est composée de deux segments de droites.
Le travail est une grandeur additive, ondécompose donc le travail du poids entreA etC de la manière suivante:
b.Conclusion
Le résultat précédent est généralisable: toute trajectoire du système peut être vue comme une infinité de déplacements possibles, cequi mène au même résultat.
CheminsC1 etC2 pris pour aller
d’unpointA àunpointB
En conclusion, pour utiliser la relation , ilest inutile de connaitre le chemin suivi du système pour aller deAàB.
Quand le travail d’une force entre deux points donnés est indépendant du chemin suivi, ondit que la force est conservative.
Exemple
Le poids est une force conservative.
Remarque
Lorsque le travail d’une force entre deux points donnés dépend du chemin suivi, ondit que la force est nonconservative.
2.L'énergie potentielle de pesanteur
a.L'énergie potentielle de pesanteur - Mise en situation
L’énergie potentielle associée au poids est appelée «énergie potentielle de pesanteur».
L’énergie potentielle de pesanteurEpp est l’énergie que possède un système du fait de sa position par rapport à la Terre.
La valeur de l’énergie potentielle de pesanteur est égale au produit de la massem du système, del’intensité de la pesanteurg et de l’altitudez du centre de gravitéG de ce système.
Epp=m×g×z | avec:
|
Remarques
- L’altitudez est donnée par rapport à une origine qu’il faut préciser. Onchoisit la plus commode. Ona ainsi Epp=0 pour z=0 (point de référence choisi).
- Un système possède une énergie potentielle uniquement s’il est soumis à des forces conservatives car l’énergie potentielle ne dépend que des altitudes finales et initiales, etnon du chemin suivi.
b.Lien entre travail et énergie potentielle de pesanteur - Mise en situation
On lâche une balle d’un pointA à un pointB. Cette balle n’est soumise qu’à son poids, quiest une force conservative (sontravail ne dépend pas des positions de départ et d’arrivée).
Schéma de la situation
On calcule le travail du poids entreA etB.
avec αl’angle entre
et
. Or
et
sont colinéaires et de même sens, donc α=0° et cos(α)=1.
On a donc:
Le travail fourni par la force conservative pour déplacer la balle du pointA vers le pointB peut s’exprimer en fonction de m×g×z, quireprésente l’énergie potentielle de pesanteur.
|
avec:
|
c.La variation d'énergie potentielle de pesanteur
La variation d’énergie potentielle de pesanteur d’un système entreA etB est le travail à fournir pour compenser le poids lors du changement d’altitude par rapport à la Terre.
La variation d’énergie potentielle de pesanteur associée au poidsP est donc égale à l’opposé du travail de cette force sur le système.
Exemple
On lance un ballon de masse m=500g du dernier étage de la tour Eiffel (à307m d’altitude).
Schéma de la situation
Si on choisit le sol comme origine des altitudes, lepointB est à l’altitude zB=307m et le pointA est à l’altitude zA=0m.
La variation d’énergie potentielle de pesanteurEpp de ce ballon est:
Remarque
L’énergie potentielle de pesanteurEpp correspond au cas où le système est soumis à la force conservative du poids.
Sile système est soumis à une autre force conservative (force électrique par exemple) entreA etB, onapplique la formule dans le cas général:
.
Dans ce cas, onparle de variation d’énergie potentielleΔEp.
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